考试周结束，小学期开始，闲暇时间也多了起来。值此机会把考试周前后整理的各科目复习资料发布到网站上，供大家参考。

中国近现代史纲要

旧民主主义革命

总括特征

中国变为半殖民地半封建社会
历史任务：争得民族独立、人民解放；实现国家富强、人民幸福
主要矛盾：帝国主义和中华民族的矛盾、封建主义和人民大众的矛盾
领导阶级：农民、资产阶级

鸦片战争（起点）

时间：1840-1842
签订《南京条约》（中国近代史上第一个不平等条约）

西方列强的侵略

军事

概括：杀人、割地、赔款
杀人：旅顺大屠杀
割地：中俄《瑷珲条约》、中英《南京条约》、中英《北京条约》、中日《马关条约》
战争赔款：八国联军侵华后赔款

政治

控制内政外交：允许公使常驻北京、领事裁判权、片面最惠国待遇
镇压反抗：洋枪队、镇压太平天国

经济

通商：《南京条约》五口通商、《天津条约》十口通商
关税：剥夺关税自主权
资本输出：投资设厂
操控经济：设立银行

文化

宣扬奴化思想、传教

反抗运动

义和团

时间：1900
阶级：贫苦农民为主。农民阶级
成就：廊坊大捷粉碎了联军进犯北京的计划
历史意义：展示了中国人民敢于与敌人血战到底的英雄气概、打击和教训了帝国主义侵略者，使他们不敢为所欲为地瓜分中国
局限性：对帝国主义还处在感性认识阶段，存在着笼统排外主义的错误，且被封建统治者欺骗；存在迷信“封炮王”，滥杀无辜的落后现象。

义和团之所以相信各路神祇，本质上是因为他们的信仰已经濒临崩塌、必须寻找新的精神支柱，民间传说中的神祇刚好填补了这个空缺。

太平天国

阶级：农民阶级
性质：反封建反侵略的农民战争
时间：1843-1864（金田起义——天京事变）

成就

《天朝田亩制度》：体现太平天国社会理想的纲领性文件，一个以解决土地问题为中心比较完整的改革方案，主张按人口平均分配土地，推翻封建土地所有制；具有空想色彩，没有超出农民小生产者的狭隘眼界。
《资政新篇》：中国历史上第一个比较系统发展资本主义的方案，主张发展工矿、交通等事业；缺乏社会实践的经济基础。

意义

沉重打击了封建统治阶级，撼动了清政府的统治根基
是中国旧式农民战争的最高峰
冲击了儒家经典权威
打击了外国侵略势力
是十九世纪中叶亚洲民族解放运动中时间最久、规模最大、影响最深的一次

失败原因

农民阶级自身局限性——不是先进生产力和生产关系的代表，有小生产者眼界狭隘的特点，不能独自带领革命走向胜利
无法克服内部腐败
无法提出系统的政治纲领和方案
“拜上帝教”不能指导斗争，甚至危害了农民战争
不能正确区分西方侵略者和人民群众
未能正确对待儒学，保留了封建伦理纲常原则

教训

农民具有伟大的革命潜力，但他们不能独自领导革命走向胜利
单纯的农民战争不可能完成争取农民独立和人民解放的历史任务

洋务运动

阶级：封建统治阶级当中的洋务派
性质：封建统治者的自救运动
代表人物：奕䜣、曾国藩、李鸿章、左宗棠、张之洞
时间：1861-1894

成就

兴办企业、建立新式海陆军、创办新式学堂

历史作用

客观上促进了民族资本主义和早起工业发展
促进了近代教育事业的发展（官派留学生）
有利于社会风气的改变

历史作用

洋务运动自身的封建性：新的生产力同封建主义的生产关系和上层建筑不相容，是不可能在封建主义下充分发展起来的
对列强的依赖，主张“和戎”
企业管理模式腐朽落后

教训

地主阶级企图在维持封建制度前提下，学习西方技术求强求富，是一条走不通的路

百日维新戊戌变法

阶级：资产阶级维新派
时间：1895（甲午战争失败激发民族觉醒）
代表人物：康有为、梁启超、谭嗣同
性质：资产阶级改良运动
目的：变法，实行君主立宪，是资产阶级思想与封建主义思想在中国的第一次正面交锋

行动

康有为公车上书
著书立说：《新学伪经考》《孔子改制考》《天演论》
办学会：强学会、保国会
办报纸：《国闻报》《时务报》

结果

历时 103 天后失败，只有京师大学堂被保留

意义

是一次爱国救亡运动，一场资产阶级政治改良运动
一场思想启蒙运动，宣传了自由平等，社会进化观念，批判了君主专制
改革社会风习
资产阶级新文化开始打破封建文化独占文化阵地的局面

失败原因

资产阶级改良派自身的局限性：不能根本否定君主专制制度，寄希望于光绪帝
未能触及封建土地所有制
“托古改制“
脱离人民群众
守旧势力的反对（慈禧太后）

教训

在中国，改良派自上而下的改革是行不通的，必须依靠革命推翻两半社会制度

辛亥革命

阶级：资产阶级革命派
时间：1905 成立同盟会（东京）、1911 武昌起义掀起辛亥革命的高潮，推翻了清政府的统治、1912 建立中华民国

成就

三民主义的提出：民族、民权、民生

Of the people, by the people, for the people

黄花岗起义、武昌起义
推翻清政府统治，建立了中国历史上第一个资产阶级民主共和国
《中华民国临时约法》：第一部具有资产阶级共和国宪法性质的法典，以根本大法的形式废除了两千多年来的封建君主专制制度，确认了资产阶级共和国的政治制度。

历史意义

是一次比较完全意义上的资产阶级民主革命
推翻了封建势力的的代表——清王朝的统治，沉重打击了中外反动势力
终结了延续两千多年的封建制度，建立起了第一个资产阶级共和政府，民主共和的观念深入人心
推动思想解放，社会变革
一定程度上打击了帝国主义侵略实力，推动了亚洲各国民族解放运动

局限性

没有实现民族独立，人民解放
没有找到解决中国前途命运问题的正确道路和领导方向
没有改变半殖民地半封建的社会性质和中国人民的悲惨境遇

失败原因

在中国，资本建国方案行不通
资产阶级革命派的软弱性：没有彻底的反帝反封建革命纲领，没有充分发动人民群众，不能建立坚强的革命政党

新民主主义革命

中国共产党发展史上的重要事件总结

全面抗战前

五四运动（1919.5.4）：标志中国新民主主义革命的开端

"在思想上和干部上准备了一九二一年中国共产党的成立"

新文化运动：马克思主义在中国得到初步传播，李大钊举起了马克思主义旗帜，发表《我的马克思主义观》
中共一大（1921）：中国共产党成立，通过了中国共产党第一个纲领，明确革命军队必须与无产阶级一起推翻资本家阶级的政权，承认无产阶级专政，直到阶级斗争结束，并消灭资本家私有制；陈独秀任中央局书记
中共二大（1922）：第一次提出反帝反封建的民主革命纲领；分别确定最高纲领（实现社会主义、共产主义）和最低纲领（打倒军阀，推翻国际帝国主义的压迫）
国共合作（第一次）和大革命（1923）：中共三大后，国共合作步伐加快；国民党一大后，共产党党员以个人身份加入国民党；”联俄、联共、扶助农工“；成立黄埔军校；五卅运动爆发掀起了大革命高潮；北伐战争，推翻军阀统治。
”四一二”反革命政变、”七一五“反革命政变（1925）：国共合作破裂，大革命失败
武装起义，反抗国民党反动统治：南昌起义，反抗国民党反动派屠杀；秋收起义，进行暴动
八七会议（1927）：确定土地革命和武装起义的方针，是由大革命失败到土地战争兴起的历史性转变
湘赣边界秋收起义（1927）：打出”工农革命军“旗号
三湾改编（1927）：从组织上确立了党对军队的领导
创建井冈山革命根据地（1927）：从进攻大城市转到向农村进军，这是中国人民革命史上具有决定意义的新起点；井冈山会师，成立工农革命军第四军（1928）；开辟”农村包围城市，武装夺取政权“的道路
广州起义（1927）：失败，证明不能直接通过攻占大城市夺取胜利
中共六大（1928，于莫斯科）：毛泽东从理论上对中国革命道路问题作出说明：《星星之火，可以燎原》《反对本本主义》《井冈山的斗争》《中国的红色政权为什么能够存在？》
古田会议（1929）：确立思想建党、政治建军原则；军队要绝对服从共产党领导

古田会议决议是中国共产党和红军建设的纲领性文件，是党和人民军队建设史上的重要里程碑。

反围剿战争（1930-1931）：粉碎了四次 KMT 的围剿
九一八事变（1931.9.18）：标志着日本侵华战争的开始
土地革命（1927-1937）：”打土豪，分田地“，充分调动广大农民发展生产和参军参战的积极性。
中华苏维埃共和国建立（1931，于江西瑞金）：中华苏维埃第一次全国代表大会召开，是中国历史上第一个全国性的工农民主政权。
土地革命战争受挫：第五次反围剿失败；以王明为代表的”左“倾教条主义错误
华北事变（1935）：日本制造傀儡政权，策动”防共自治运动“
遵义会议（1935）：遵义会议是生死攸关的转折点，确立了毛泽东在党和红军当中的领导地位，形成了以毛泽东同志为核心的第一代中央领导集体；在最危急的时刻挽救了党，挽救了红军，挽救了中国革命

遵义会议的鲜明特点是坚持真理，修正错误，开启了中国共产党独立自主解决中国革命实际问题的新阶段。毛泽东、周恩来、王稼祥的三人小组负责全军的军事行动

红军长征（1934-1936）：第五次反围剿失败后实施的战略转移，极大地促进了党在政治上和思想上的成熟，是中国革命转危为安的关键，宣告了国民党反动派消灭中国共产党和红军的图谋彻底失败，宣告了中国共产党和红军肩负着民族希望实现了北上抗日的战略转移，铸就了伟大的长征精神。

全面抗战期间（及部分抗战相关）

七七事变（1937.7.7）：日本全面侵华战争开始
一二九运动（1935.12.9）：北平学生举行抗日游行，要求停止内战，一致对外，促进了中华民族的觉醒，标志着中国人民抗日救亡运动新高潮的到来。
瓦窑堡会议（1935.12）：提出基本策略任务是建立抗日民族统一战线
西安事变（1936.12.12）：张、杨扣留蒋介石，并通电全国，提出停止内战、一致抗日等八项主张；和平解决后，成为时局转换的枢纽，十年内战局面基本结束，国内和平初步实现。
中共六届六中全会（1938）：明确提出马克思主义中国化命题

国民党正面战场

正面战场战役：淞沪会战（谢晋元守四行仓库）、台儿庄会战（1938，李宗仁，取得胜利）
豫湘桂大溃败（1944-1945）：国民党溃败，陷入统治危机。

百团大战（1940）：八路军在华北发动大规模对日进攻
整风运动（1941-1942）：反对主观主义以整顿学风，反对宗派主义以整顿党风，反对党八股以整顿文风。其中，反对主观主义以整顿学风是最主要的任务；实事求是的思想路线在全党范围建立起来。
中共七大（1945）：确立毛泽东思想为指导思想并写入党章；

中共七大在党的历史上具有重要里程碑意义，标志着党在政治上思想上组织上走向成熟。

抗战胜利（1945）：彻底粉碎了日本军国主义殖民奴役中国的图谋，有利捍卫了国家主权和领土完整，彻底洗刷了近代以来抗击外来侵略屡战屡败的民族耻辱；促进了中华民族的大团结，形成了伟大的抗战精神；对世界各国夺取反法西斯战争的胜利，维护世界和平产生了巨大影响；坚定了中国人民追求民族独立、自由、解放的意志，为中国共产党团结带领全国人民继续奋斗，赢得新民主主义革命胜利，奠定了重要的基础。

抗战后至解放战争结束前

发表《对目前时局的宣言》（1945）：提出和平、民主、团结口号
重庆谈判和双十协定的签署（1945）：确认和平建国的基本方针，同意”长期合作，坚决避免内战”
全面内战爆发（1946）：蒋介石撕毁双十协定，国民党进攻中原解放区，全面内战爆发。

解放战争之战略防御阶段

1946 年 6 月至 1947 年 6 月，人民军队处于战略防御阶段。战争主要在解放区进行。
1946 年 11 月后，国民党军被迫放弃对解放区的全面进攻，而改为对陕北、山东两解放区的重点进攻。

国民党速战速决的计划被粉碎，使他们陷入了人民战争的汪洋大海。

解放战争之战略进攻阶段

千里跃进大别山（1947.6）：战略进攻的序幕拉开
解放区土改（1946 起）：解放区实行“耕者有其田”，通过《中国土地法大纲》。

《中国土地法大纲》是一个彻底反封建的土地革命纲领，为建立新中国奠定了深厚的群众基础。

政治战线上爆发了学生运动和人民民主运动（一二三〇运动、五二〇运动），标志着国民党政府在政治战线上也打了败仗，处在全民的包围之中。
三大战役（1948）：国民党赖以维持其反动统治的主要军事力量基本上被摧毁。
解放军占领南京（1949.4.23）：人民解放军占领南京，宣告延续 22 年之久的国民党反动统治覆灭。

解放战争结束后

多党合作和政治协商制度的形成（1949）：标志着民主党党派地位的根本变化，不再是反动政权下的在野党，而是在中国共产党领导下，共同的担负起管理国家和建设新中国的历史重任。
第一届中国人民政治协商会议（1949.9.21）：标志中国共产党领导的多党合作和政治协商制度形成。

政协会议通过了《中国人民政治协商会议共同纲领》。《共同纲领》成为中国人民的大宪章，在一个时期内起着新中国临时宪法的作用。

钱班化学原理有机部分

烷烃

命名
构象：Newman 投影式；重叠式和交叉式
反交叉最稳定
相对分子量越大，沸点越高
支链越多，沸点越低
密度大约为 $0.8$
取代反应以及三个阶段
烷基自由基稳定性

烯烃

命名——Z/E 异构
优先次序按照相对分子量决定

制备

醇脱水
卤代烷脱 $\ce{HX}$

化学反应

烯键是富电子键，所以容易与亲电试剂发生反应

催化加氢
氢化热——稳定性（氢化热越高，越不稳定）
与卤素加成（马氏）——本质是碳正离子稳定性
与酸加成
与水加成
与卤素加成——从两侧加成
与溴化氢自由基加成（反马）

氧化反应

臭氧氧化，制备醛、酮（从两侧断开，生成两个产物）
$\ce{KMnO4}$ 氧化。生成酮或者羧酸，端烯生成 $\ce{CO2 + H2O}$
$\alpha$ 氢取代

炔烃和二烯烃

性质：微弱酸性

特征反应

炔基的烷基化（ $\ce{NaNH2 + RBr}$ ）
鉴定：硝酸银的氨溶液
催化加氢（Lindlar）

亲电加成

$\ce{HX}$
$\ce{X2}$
$\ce{H2O}$ ，涉及到重排（烯醇式和酮式）

氧化反应

$\ce{KMnO4}$ 氧化为羧酸

共轭二烯烃

稳定——共振离域
共轭，超共轭
双烯合成，生成六元环化合物（DA 反应）

脂环烃

命名
环张力
顺反异构

特征反应

取代（5、6 元环）
加成（小环），加 $\ce{H2, X2, HX}$
开环位置：含 $\ce{H}$ 最多和最少的两个 $\ce{C}$ 之间
氧化（ $\ce{KMnO4}$ 氧化为二羧酸， $\ce{O3}$ 氧化为羰基）
环烯烃的加成，类似于烯烃
双烯合成

物理性质

张力能和稳定性——环己烷以上都很稳定
构象——椅式、半椅式、船式；椅式最稳定
大基团位于平伏键最稳定

芳香烃

$sp^2$ 杂化
共振式
常见基团：苯基、对甲苯基、苄基、芳基
衍生物：甲苯、苯甲醛。苯甲酸

化学反应

亲电取代（三步）
卤化反应（ $\ce{Cl2, Br2}$ ），加一个卤素原子到苯环上
硝化反应
磺化反应（加 $\ce{SO3H}$ 到苯环上）
傅克烷基化和酰基化（ $\ce{AlCl3}$ ）
加成反应（加氢变成脂环烃、加氯变成六氯化苯）
氧化反应（ $\ce{KMnO4}$ 使烷基氧化成羧基）
顺丁烯二酸酐的合成
氯化反应（ $\alpha$ 氢氯代）
定位基效应（活化——钝化、邻对位——间位、给电子——吸电子）

多环和非苯

萘及其衍生物

命名（ $\alpha$ 和 $\beta$ 位）

化学反应

取代反应（卤代、酰基化、傅克烷基化）
氧化、还原（ $\ce{CrO3}$ ）

蒽及其衍生物

比苯和萘活泼

非苯芳烃

高数

Huckle 规则 $4n+2$

立体化学

分子的手性和手性原子的关系
R/S 构型判断
有对称中心和对称面则为非手性
对映异构体
旋光性
内消旋（对称因素相互抵消）和外消旋
费舍尔投影式（横前竖后）
酒石酸的结构
外消旋的拆分

卤代烃

饱和和不饱和卤代烃（活性差别很大）
命名

制备

烷烃卤代
不饱和烃加成
从醇制备
$\ce{ROH + HX \lt =\gt RX + H2O}$
醇与卤化磷作用
醇与 $\ce{SOCl2}$ 作用
卤素置换（ $\ce{NaI}$ 和丙酮）

化学性质

加 $\ce{NaOH}$ 水解为醇
制备胺和腈（ $\ce{NH3, NaCN}$ ）
与醇钠作用生成醚
与硝酸银反应生成沉淀

消除反应

$E_{1}, E_{2}$ 机理
遵循扎伊采夫规则（取代越多越稳定）

与金属作用

和镁生成格氏试剂

亲核取代

两种机理及其影响因素（位阻、电子）
瓦尔登翻转
离去基团的影响
亲核试剂的影响

醇和醚

醇

命名
分类

制备

羰基化合物的还原（ $\ce{LiAlH4}$ ， $\ce{H2, Pt}$ ）
使用 $\ce{LiAlH4}$ 还原可以不影响碳碳双键
格氏试剂合成
烯烃水合
硼氢化氧化（烯烃，反马氏）
卤代烃水解

化学性质

酸性（伯醇大于叔醇，溶剂化作用）
与活泼金属反应（醇钠）
与 $\ce{HX}$ 反应生成 $\ce{RX + H2O}$
Lucas 试剂
与卤化磷， $\ce{SOCl2}$ 反应生成卤代烷
脱水反应（ $\ce{Al2O3}$ 或酸催化）
分子间脱水成醚

氧化

生成醛或羧酸
PCC 只氧化醇而不氧化醛
仲醇被氧化为酮（ $\ce{K2Cr2O7}$ ）
叔醇不被氧化

醚

结构
命名（系统命名和衍生物命名，“甲氧基”）

制备

两分子醇在硫酸催化下脱水
威廉姆森合成法 $\ce{RONa + R'X -\gt ROR'}$

化学性质

醚键断裂（氢碘酸）

酚和醌

酚

结构
命名

制备

异丙苯氧化法
磺酸盐碱熔法
卤苯水解

化学性质

酸性及其影响因素
酚醚的生成（醇钠 + $\ce{RSO4}$ ）
芳环上的卤代
硝化
磺化（对位为主）
烷基化和酰基化（傅克）
与三氯化铁的显色反应

醌

略

醛酮

命名
结构——羰基

制备

醇的氧化和脱氢（ $\ce{CrO3}$ 和吡啶可以避免碳碳不饱和键被破坏）
傅克酰基化
由炔烃制备
由烯烃氧化得到
芳烃侧链的氧化
羰基合成

化学性质

与氢氰酸加成（氰醇，位阻效应）
与饱和亚硫酸钠加成生成 $\alpha-$ 羟基磺酸钠
与醇加成生成半缩、缩醛酮
与格氏试剂制备醇
酮——烯醇平衡
羟醛缩合（有 $\alpha-H$ 的醛或酮）生成羟基醛、酮
交叉羟醛缩合
$\alpha-H$ 卤代
碘仿鉴别反应
黄鸣龙还原法（肼）
克莱门森还原法（锌汞齐和盐酸）
氧化反应（银镜区分醛和酮）
坎尼扎罗反应（歧化）

高数

重难点总结

傅里叶变换

$[-\pi,\pi]$ 上的傅里叶变换

通式：

f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\,\left(\,a_{n}\cos\,n x\,+\,b_{n}\sin\,n x\,\right)\,

a_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\,x)\cos\,k x\mathrm{d}x\quad(\,k=0\,,1\,,2\,,\cdots\,)\;

b_{_{k}}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin\,k x\mathrm{d}x\ \ \ (\,k\,=\,1\,,2\,,\cdots\,).

对于奇函数，傅里叶级数称为正弦级数，即

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{x}\sin\,n x\,,\quad x\in(\,-\,\infty\,,\,+\,\infty\,)

b_{_n}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\,x)\sin\,n x\mathrm{d}x={\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\pi}\!f(\,x)\sin\,n x\mathrm{d}x\quad(\,n\,=\,1\,,2\,,\cdots)

同理，余弦级数：

f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\,n x\,,\quad x\,\in\,(\,-\,\infty\,\,,\,\,+\,\infty\,\,)

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\,x\,)\cos\,n x\mathrm{d}x\quad(\,n\,=0\,,\,1\,,2\,,\,\cdots\,)

$[-l,l]$ 上的傅里叶变换

通式：

f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\mathrm{cos}\,{\frac{n\pi x}{l}}\,+\,b_{n}\mathrm{sin}\,{\frac{n\pi x}{l}}\right)

其中，

a_{n}\,=\,\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(\,x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\;\;\;\;(\,n\,=\,0\,,1\,,2\,,\cdots)

b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x~~~(n=1,2,\cdots)

$[0,l]$ 上的傅里叶变换

需要进行解析延拓，分为奇延拓和偶延拓

奇延拓

通式：

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\,b_{n}\sin{\frac{n\pi x}{l}}

其中

b_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x~~~(n=1,2,\cdots)

偶延拓

f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\,a_{n}\cos{\frac{n\pi x}{l}}

其中

a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\!f(\,x\,)\cos\,\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\quad(\,n=0\,,1\,,2\,,\cdots)

线积分、面积分的计算方法

若

x=x(\,t\,),y=y(\,t\,),z=z(\,t\,)\;\;\;\;\;\;(\alpha\lt t\lt \beta)

则

$ \int_{(C)} f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)+\dot{z}^2(t)} \mathrm{d} t $

第一型面积分

若 $S$ 的方程为 $z=f(x,y)$
则第一型面积分的计算公式为：
$\iint_{(S)} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{(\sigma)} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y $

第二型线积分

设光滑有向曲线 $(C)$ 的参数方程是

$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$

而又有向量值函数

$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$

则

$\begin{aligned}
\int_{(C)} \boldsymbol{A}(M) \cdot \mathbf{d} s & =\int_{(C)}(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) \cdot(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z) \
& =\int_{(G)} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z
\end{aligned}$
其中

$\begin{aligned}
& \int_{(C)} P(x, y, z) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta P[x(t), y(t), z(t)] \dot{x}(t) \mathrm{d} t, \
& \int_{(C)} Q(x, y, z) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta Q[x(t), y(t), z(t)] \dot{y}(t) \mathrm{d} t, \
& \int_{(C)} R(x, y, z) \mathrm{d} z=\int_\alpha^\beta R[x(t), y(t), z(t)] \dot{z}(t) \mathrm{d} t .
\end{aligned}$

两类线积分的联系

如果设 $M$ 处的切向量为 $(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)$ ，则

$\int_{(C)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{(C)}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s$

第二型面积分

设有向曲面 $(S)$ 为 $z=z(x,y)$ ，其在 $xOy$ 平面上的投影为 $(\sigma_{xy})$ ，则
$\iint_{(S)} R(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y= \pm \iint_{\left(\sigma_{xy}\right)} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{d} y$

对于 $x=x(y,z)$ 和 $y=y(x,z)$ 同理

各种积分的联系及场论

Green 公式

设平面有界闭区域 $(\sigma)$ 由一条分段光滑的简单曲线所围成， $(\sigma)$ 的边界曲线为 $(C)$ ，函数 $P,Q$ 在 $(\sigma)$ 上一阶导函数连续，则
$\iint_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma=\oint_{(+C)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$

Gauss 公式

空间有界闭区域 $(V)$ 的边界为 $(S)$ ，则

\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\iint_{(S)} P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{d} y

Stokes 公式

\oint_{(S)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint_{(S)}\!\left({\frac{\partial R}{\partial y}}-{\frac{\partial Q}{\partial z}}\!\right)\operatorname{d}\!y\wedge \text{d}z+\left({\frac{\partial P}{\partial z}}-{\frac{\partial R}{\partial x}}\!\right)\operatorname{d}\!z\wedge \text{d}x+\left({\frac{\partial Q}{\partial x}}-{\frac{\partial P}{\partial y}}\right)\operatorname{d}\!x\wedge \text{d}y

场论部分

记 $
\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) $
那么，

梯度

设二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则 $f$ 在该点处的梯度一定存在，并且梯度为： $
\nabla f(x_0,y_0)=(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}) $
而对于散度，

散度（同时也是一个通量密度）

散度的计算公式：

$\text{div}~\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z} $

接下来，

旋度（是矢量，本身不是环量密度）

$ \mathbf{rot~A}=\nabla \times \mathbf{A} $

有了这三个量，可以引出对各种场的讨论：

各种场之间的关系

无旋场

无旋场——环量处处为 $0$
如果一个场为无旋场，那么它为有势场，也就存在势函数；它同时也是保守场
对无旋场， $P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z$ 是某一函数的全微分
该场中线积分与路径无关

无源场

沿任意一不自交闭曲面的通量为 $0$
处处散度为 $0$

调和场

既无源又无旋的场称为调和场

级数

常用级数公式：
$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}\,\left(-\infty\lt x\lt +\infty\right)$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} (-\infty \lt x \lt +\infty)$

一些其他的理解

有时候第一型面积分的计算不一定选择 $x,y$ 为参，例如选择 $\varphi, \theta$ ，为参数，并把曲面上的坐标表示成
$r=(x(\varphi, \theta),y(\varphi, \theta),z(\varphi, \theta))$

其中
$x=R\sin\varphi\cos\theta$

y=R\sin\varphi\sin\theta

$z=R\cos\varphi$

此时，面积分为
$\iint_{(\sigma)}f[x(\varphi, \theta),y(\varphi, \theta),z(\varphi, \theta)]||r_{\theta}\times r_{\varphi}||\text{d}\theta\text{d}\varphi
$$
此时的变换为球坐标变换，计算可以得到

$||r_{\theta}\times r_{\varphi}||=R^2 \sin \varphi$

在计算级数和函数的时候注意观察已经得到的级数形式是否符合某个已知的简单函数的展开式，若有，则直接把变量代入已知函数即可。

Sydney

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