建一个理科主题水楼！

各种理科主题的科普、讨论、闲聊、灌水、钓鱼、发疯等等都行！

先来个益智小问题

给定一个圆和一条直径，但不给圆心，能否仅用无刻度直尺作图找出其圆心？

东边钓不到，来西边钓是吧

你说的对但是教我拓扑

拓扑学不了一点 😾

来个有点难度的，证明:

$$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4+25x^2+160}}=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4-95x^2+2560}}$$

I is fish

🐋！
好久不见

前排顶帖，最优化学不了一点😾

解答：

令

$$z=\frac{x^5+40x^3+320x}{x^4+20x^2+80}$$

则有

$$\frac{\mathrm dz}{\sqrt{z^4-95z^2+2560}}=\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4+25x^2+160}}$$

然后积一下就好了

😤

这下出口转内销了

非常好理科水楼

我不知道！！！

存在不能被任何图灵机 (Turing machine) 计算的函数 $ UC:{0,1}^*\to{0,1} $.

函数 $ UC $ 如下定义：

$$\forall \alpha\in\{0,1\}^*, UC(\alpha)= \begin{cases} 0,M_\alpha(\alpha)=1;\\ 1,\text{otherwise}. \end{cases}$$

证明：假设函数 $ UC $ 可被图灵机计算，则存在图灵机 $ M $ 使得 $
M(\alpha)\equiv UC(\alpha), \forall \alpha\in{0,1}^* $
所以有 $ M(\lfloor M\rfloor)=UC(\lfloor M\rfloor) $.这与定义矛盾。
注： $ {0,1}^* $ 为 0 和 1 组成的字符串， $ M_\alpha $ 为以二进制字符串 $ \alpha $ 表示的图灵机（数据和指令等价）， $ \lfloor M\rfloor $ 为图灵机 $ M $ 的二进制字符串表示
这个函数的构造方式有点像理发师悖论
来源：COMPUTATIONAL COMPLEXITY A Modern Approach

怎么没人水，那我多水几个

相信大家都在信号与系统中学过 Parseval 方程：

$$(f,f)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2},\forall f\in\mathscr{H}.$$

其中 $ \mathscr{H} $ 为全体定义在 $ [a,b] $ 上复值平方可积的函数构成的线性空间。
课本的证明是最容易想到、最直观的证明：

$$(f,f)=\Bigl(\sum_{i=1}^\infty{c_if_i},\sum_{i=1}^\infty{c_if_i}\Bigr)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2}.$$

该证明看似简洁，其实并不正确。正交归一函数集 $ {f_i} $ 的完备性不能保证逐点收敛，所得函数和原函数可能相差一个广义零函数，因此第一个等号不成立。从完备性直接得到的是由积分定义的平均收敛。正确的证明如下：

$$\begin{align*} &\int_a^b{\Bigl|f(x)-\sum_{i=1}^{n}{c_if_i(x)}\Bigr|^2\rho(x)\mathrm{d}x}\\ =&(f,f)-\sum_{i=1}^{n}{c_i^*(f_i,f)}-\sum_{i=1}^{n}{c_i(f,f_i)}+\sum_{i=1}^{n}{|c_i|^2}\\ =&(f,f)-\sum_{i=1}^{n}{|c_i|^2}. \end{align*}$$

由基函数 $ {f_i} $ 的完备性得，

$$\lim_{n\to\infty}\int_a^b{\Bigl|f(x)-\sum_{i=1}^{n}{c_if_i(x)}\Bigr|^2\rho(x)\mathrm{d}x}=0,\\ i.e.(f,f)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2}.$$

该方程还有更一般的形式：

$$(f,g)=\sum_{i=1}^\infty{(f,f_i)(f_i,g)},\forall f,g\in\mathscr{H}.$$

证明如下：

$$\begin{align*} f(x)&=\sum_{i=1}^\infty{c_if_i(x)}=\sum_{i=1}^\infty{\Bigl[\int_a^b{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')\mathrm{d}x'}\Bigr]f_i(x)} \\&=\int_a^b{\Bigl[\sum_{i=1}^\infty{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')}\Bigr]f(x')\mathrm{d}x'} \\&=\int_a^b{\delta(x'-x)\mathrm{d}x'}\\ &\Rightarrow\sum_{i=1}^\infty{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')}=\delta(x-x'),a\leqslant x,x'\leqslant b.\\ (f,g)&=\int_a^b{f^*(x)g(x)\rho(x)\mathrm{d}x}\\ &=\int_a^b{\Bigl[\int_a^b{f^*(x)g(x')\rho(x)\delta(x-x')\mathrm{d}x'}\Bigr]\mathrm{d}x}\\ &=\sum_{i=1}^\infty{\int_a^b{\Bigl[\int_a^b{f^*(x)f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')g(x')\rho(x)\mathrm{d}x'}\Bigr]\mathrm{d}x}}\\ &=\sum_{i=1}^\infty{\int_a^b{f^*(x)f_i(x)\rho(x)\mathrm{d}x}\int_a^b{f_i^*(x')g(x')\rho(x')\mathrm{d}x'}}\\ &=\sum_{i=1}^\infty{(f,f_i)(f_i,g)}. \end{align*}$$

超，你什么时候改行搞数学了
这里的 $\rho$ 是什么

我也来写点

$ \rho(x) $ 是定义在 $ [a,b] $ 上不恒为零的非负实函数，在线性空间 $ \mathscr{H} $ 的内积定义中用作权函数。 $ \rho(x)\equiv 1 $ 是一种常见的特殊情况。

Fourier 变换前后形式不变的信号——Gauss 型函数

$$g_{\alpha}\left( t \right) =\frac{1}{2\sqrt{\pi \alpha}}\exp \left\{ -\frac{t^2}{4\alpha} \right\}$$

不难发现

$$\begin{align} \mathscr{F} \left\{ g_{\alpha}\left( t \right) \right\} &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{2\sqrt{\pi \alpha}}\exp \left\{ -\frac{t^2}{4\alpha} \right\} \exp \left\{ -\mathrm{i}\omega t \right\} \mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\exp \left\{ -\left( \frac{t}{2\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\alpha}\mathrm{i}\omega \right) ^2-\alpha \omega ^2 \right\} \mathrm{d}\frac{t}{2\sqrt{\alpha}}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left\{ -\alpha \omega ^2 \right\} \end{align}$$

以此为窗进行的短时 Fourier 变换称为 Gabor 变换：

$$\begin{align} \mathscr{F} \left\{ f\left( t \right) g_{\alpha}\left( t-b \right) \right\} &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) g_{\alpha}\left( t-b \right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F\left( \xi \right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\left( \omega -\xi \right) b}\mathrm{e}^{-\alpha \left( \omega -\xi \right) ^2}\mathrm{d}\xi} \\ &=\frac{1}{2\sqrt{\pi \alpha}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega b}\int_{-\infty}^{+\infty}{F\left( \xi \right) g_{\frac{1}{4\alpha}}\left( \xi -\omega \right) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\xi b}\mathrm{d}\xi} \end{align}$$

时域乘积在频域表现为卷积。 $ g_{\alpha}\left( t \right) $ 是时间窗函数， $ g_{\frac{1}{4\alpha}}(\xi) $ 则是相应的频率窗函数。时间窗宽度和频率窗宽度成反比。